જો $\sum_{r=1}^{n}r^3 - \sum_{p=1}^{n}\sum_{m=1}^{p}\sum_{r=1}^{m}1 = 80$ હોય,તો $n$ ની શક્ય કિંમત શું હોઈ શકે?

ધારો કે $S$ એ અનંત સરવાળો છે જે $S = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{10^{2n}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $(a_n)_{n \geq 0}$ એ $a_0 = 1, a_1 = 1$ અને $j \geq 2$ માટે $a_j = 20a_{j-1} - 108a_{j-2}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત શ્રેણી છે. જો $S$ ને $\frac{a}{b}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવવામાં આવે,જ્યાં $a$ અને $b$ પરસ્પર અવિભાજ્ય ધન પૂર્ણાંકો છે,તો $a$ ની કિંમત શોધો:

જો $1 + \sin \theta + \sin^2 \theta + \dots \text{ અનંત સુધી } = 4 + 2\sqrt{3}$,જ્યાં $0 < \theta < \pi$ અને $\theta \neq \frac{\pi}{2}$,તો $\theta = $

જો $1+\sin \theta+\sin ^{2} \theta+\ldots \infty = 2 \sqrt{3}+4$ હોય,તો $\theta = $

$1 \times 2 \times 3 + 2 \times 3 \times 4 + 3 \times 4 \times 5 + \ldots$ શ્રેણીના $n$ પદો સુધીનો સરવાળો કેટલો થાય?

શ્રેણી $1 \times 3^{2} + 2 \times 5^{2} + 3 \times 7^{2} + \dots$ ના $10$ પદોનો સરવાળો કેટલો થાય?